Sau đây chỉ nói về các bất phương trình dạng f(x) > 0. Các kết quả tương tự cho các bất phương trình với dấu ≥.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình dạng: a . x + b > 0 {\displaystyle a.x+b>0\,}

trong đó a ≠ 0.

• Nếu a > 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: x > − b a {\displaystyle x>{\frac {-b}{a}}} .
• Nếu a < 0, tập nghiệm của bất phương trình này là: x < b a {\displaystyle x<{\frac {b}{a}}} .

trường hợp a =0

• Nếu b > 0, Phương trình vô số nghiệm.
• Nếu b < 0, Phương trình vô nghiệm

Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng:

a . x 2 + b . x + c > 0 {\displaystyle a.x^{2}+b.x+c>0\,}

trong đó a ≠ 0.

Đặt Δ = b2 - 4.a.c. Ta có các trường hợp sau:

1. Nếu Δ < 0 và
   • a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: ∅ {\displaystyle \varnothing } .
   • a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: R {\displaystyle \mathbb {R} } .

2. Nếu Δ = 0 và

• a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: ∅ {\displaystyle \varnothing } .
• a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: R ∖ { − b 2 a } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-b}{2a}}\right\}} .

3. Nếu Δ > 0, gọi x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình bậc hai a.x2 + b.x + c = 0 với

x 1 = − b − Δ 2 a ; x 2 = − b + Δ 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}};\quad \quad x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}

Khi đó

• Nếu a > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: ( − ∞ ; x 1 ) ∪ ( x 2 ; + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )}
• Nếu a < 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: ( x 1 ; x 2 ) {\displaystyle (x_{1};x_{2})\,}

Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai khi Δ {\displaystyle \Delta } dương và a dươngTập nghiệm của bất phương trình bậc hai khi Δ {\displaystyle \Delta } dương và a âm

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn